Ciri ciri sistem persamaan linear tiga variabel

Kelas : X (1 SMA)
Materi : Sistem Persamaan Linear
Kata Kunci : sistem persamaan linear tiga variabel, ciri-ciri

Pembahasan :
Persamaan berbentuk 
ax + by + cz = p 
dinamakan persamaan linear dengan tiga variabel.

Sekelompok persamaan berbentuk
a₁₁x + a₁₂y + a₁₃z = p,
a₂₁x + a₂₂y + a₂₃z = q,
a₃₁x + a₃₂y + a₃₃z = r,
dinamakan sistem persamaan linear dengan tiga variabel dengan a₁₁, a₁₂, a₁₃, a₂₁, a₂₂, a₂₃, a₃₁, a₃₂, a₃₃ dinamakan koefisien-koefisien dari variabel-variabel x, y, dan z, serta p, q, dan r dinamakan konstanta.
a₁₁, a₁₂, a₁₃, a₂₁, a₂₂, a₂₃, a₃₁, a₃₂, dan a₃₃ ≠ 0 serta a₁₁, a₁₂, a₁₃, a₂₁, a₂₂, a₂₃, a₃₁, a₃₂, a₃₃, p, q, dan r ∈ R.

Penyelesaian dari sistem persamaan linear dengan tiga variabel adalah menentukan pasangan terurut (x₀, y₀, z₀) yang merupakan penyelesaian dari sistem persamaan linear dengan tiga variabel.

Metode penyelesaiannya ada 3, yaitu :
1. eliminasi
2. substitusi
3. gabungan eliminasi dan substitusi.
 
Contoh :
Apakah oersamaan-persamaan di bawah ini membentuk sistem persamaan linear tiga variabel?
a. 2x + 5y + 2z = 7
 2x - 4y + 3z = 3

b. x - 2y + 3z = 0
y = 1
x + 5z = 8

Jawab :
a. Persamaan-persamaan
2x + 5y + 2z = 7 ... (1)
2x - 4y + 3z = 3 ... (2)
membentuk sistem persamaan linear dengan tiga variabel x, y, dan z.

Penyelesaiannya diperoleh dengan menggunakan metode gabungan eliminasi dan substitusi.
Pertama, persamaan (1) dan (2) kita eliminasi x, diperoleh
2x + 5y + 2z = 7
2x - 4y + 3z = 3
_____________-
⇔ 9y - z = 4
⇔ z = 9y - 4 ... (3)

Selanjutnya, persamaan (3), kita substitusikan ke persamaan (2), diperoleh
2x - 4y + 3z = 3
⇔ 2x = 3 + 4y - 3z
⇔ 2x = 3 + 4y - 3(9y - 4)
⇔ 2x = 3 + 4y - 27y + 12
⇔ 2x = -23y + 15
⇔ x = [tex]- \frac{23}{2} [/tex]y + [tex] \frac{15}{2} [/tex]

Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah ([tex]- \frac{23}{2} [/tex]y + [tex] \frac{15}{2} [/tex], y, 9y - 4) dan y ∈ R.

b. Persamaan-persamaan
x - 2y + 3z = 0 ... (1)
y = 1                 ... (2)
x + 5z = 8        ... (3)
membentuk sistem persamaan linear dengan tiga variabel x, y, dan z.

Penyelesaiannya diperoleh dengan menggunakan metode gabungan eliminasi dan substitusi.
Pertama, kita substitusi persamaan (2) ke persamaan (1), diperoleh
x - 2y + 3z = 0
⇔ x - 2(1) + 3z = 0
⇔ x - 2 + 3z = 0
⇔ x + 3z = 2 ... (4)
Selanjutnya, persamaan (3) dan (4) kita eliminasi x, diperoleh
x + 5z = 8
x + 3z = 2
________-
⇔ 2z = 6
⇔ z = 3 ... (5)
Kemudian, persamaan (5) kita substitusikan ke persamaan (4), diperoleh
x + 3z = 2
⇔ x + 3(3) = 2
⇔ x + 9 = 2
⇔ x = 2 - 9
⇔ x = -7

Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah (-7, 1, 3).

Semangat!